Question

已知冪函數f（x）的圖象經過點（

1

8

，

2

4

），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數圖象上的任意不同兩點，給出以下結論：
①x₁f（x₁）＞x₂f（x₂）；
②x₁f（x₁）＜x₂f（x₂）；
③

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

；
④

f(x1)

x1

＜

f(x2)

x2

．
其中正確結論的序號是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、②④
• D、②③

Answer 1

分析：設f（x）=x^α，把點（

1

8

，

2

4

）代入函數的解析式求出α，得到 f（x）=x

1

2

，
利用函數在其定義域[0，+∞）內單調 遞增，且增長速度越來越慢，結合函數圖象作答．

解答：解析：依題意，設f（x）=x^α，則有（

1

8

）^α=

2

4

，即（

1

8

）^α=(

1

8

)

1

2

，所以，α=

1

2

，于是f（x）=x

1

2

．
由于函數f（x）=x

1

2

在定義域[0，+∞）內單調遞增，
所以當x₁＜x₂時，必有f（x₁）＜f（x₂），從而有x₁f（x₁）＜x₂f（x₂），故②正確；
又因為

f(x1)

x1

，

f(x2)

x2

分別表示直線OP、OQ的斜率，結合函數圖象，
容易得出直線OP的斜率大于直線OQ的斜率，故

f(x1)

x1

＞

f(x2)

x2

，所以③正確，
故選 D．

點評：本題考查冪函數的定義和性質，注意①②中只能一個正確，③④中只能一個正確．