Question

【題目】已知函數在x=1處取得極值2．

（1）求f(x)的解析式；

（2）設函數 ，若對任意的，總存在，使得成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：（1）求導可得，由題意可得,，解得，，經檢驗符合題意，則函數的解析式為.

（2）結合(1)的結論可得在上最小值為，則，函數的定義域為，，分類討論：①當時，符合題意；②當時，函數單調遞減，函數最小值為，滿足題意；③當時，明顯不合題意，綜上所述，的取值范圍為.

詳解：（1），

因為在處取到極值為2，所以,，

，解得，，

經檢驗，此時在處取得極值．故.

（2）由（1）所以在上單調遞增，

所以在上最小值為所以在上最小值為，

依題意有，

函數的定義域為，，

①當時，，函數在上單調遞增，其最小值為，合題意；

②當時，函數在上有，單調遞減，

在上有，單調遞增，

所以函數最小值為，

解不等式，得到

從而知符合題意.

③當時，顯然函數在上單調遞減，其最小值為，舍去.

綜上所述，的取值范圍為.