Question

（2013•西城區一模）某班有甲、乙兩個學習小組，兩組的人數如下：

組別 性別	甲	乙
男	3	2
女	5	2

現采用分層抽樣的方法（層內采用簡單隨機抽樣）從甲、乙兩組中共抽取3名同學進行學業檢測．
（Ⅰ）求從甲組抽取的同學中恰有1名女同學的概率；
（Ⅱ）記X為抽取的3名同學中男同學的人數，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由甲、乙兩組的學生人數之比可得到從甲乙兩組抽取的人數，再利用古典概型的概率計算公式即可得出；
（Ⅱ）隨機變量X的所有取值為0，1，2，3．利用古典概型的概率計算公式和互斥事件的概率計算公式即可得出其概率，再利用數學期望的計算公式即可得出．

解答：解：（Ⅰ）依題意，甲、乙兩組的學生人數之比為 （3+5）：（2+2）=2：1，
∴從甲組抽取的學生人數為

2

3

×3=2；從乙組抽取的學生人數為

1

3

×3=1．
設“從甲組抽取的同學中恰有1名女同學”為事件A，
則 P(A)=

C 1 3 • C 1 5

C 2 8

=

15

28

，
故從甲組抽取的同學中恰有1名女同學的概率為

15

28

．
（Ⅱ）隨機變量X的所有取值為0，1，2，3．
P(X=0)=

C 2 5 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

=

5

28

，P(X=1)=

C 1 3 • C 1 5 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

+

C 2 5 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

=

25

56

，
P(X=2)=

C 2 3 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

+

C 1 3 • C 1 5 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

=

9

28

，P(X=3)=

C 2 3 • C 1 2

C 2 8 • C 1 4

=

3

56

．
所以隨機變量X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	5 28	25 56	9 28	3 56

EX=0×

5

28

+1×

25

56

+2×

9

28

+3×

3

56

=

5

4

．

點評：熟練掌握分層抽樣的意義和計算公式、古典概型的概率計算公式、互斥事件的概率計算公式和數學期望的計算公式是解題的關鍵．