Question

（本小題滿分12分）如圖，拋物線的頂點O在坐標原點，焦點在y軸的負半軸上，過點M（0，-2）作直線l與拋物線相交于A，B兩點，且滿足=(-4,-12).

 

（1）求直線l和拋物線的方程；

（2）當拋物線上一動點P在點A和B之間運動時，求ΔABP面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）直線方程為y=2x-2,拋物線方程為

（2）最大值為。

 

【解析】解：（1）根據題意可設直線l的方程為y=kx-2。------（1）

拋物線方程為。-----（2）

（1），（2）聯立得，。

設點A()，B（），則，。

所以=（-4，-12）

所以解得p=1,k=2

故直線方程為y=2x-2,拋物線方程為

（2）根據題意，當拋物線過點P的切線與l平行時，ΔABP的面積最大。

設點P（x₀,y₀），因為，則，解得，又，所以P(-2,-2)。此時，點P到直線l的距離。

由，得。

則，所以。

故ΔABP面積的最大值為。