Question

已知曲線C：xy-2kx+k²=0與直線l：x-y+8=0有唯一公共點，而數列{a_n}的首項為a₁=2k，且當n≥2時點（a_n-1，a_n）恒在曲線C上，數列{b_n}滿足關系bn=

1

an-2

①求k的值；
②求證數列{b_n}是等差數列；
③求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：①聯立曲線和直線方程，化為關于x的一元二次方程后由判別式等于0即可求得k的值；
②把k值代入曲線方程，由點（a_n-1，a_n）恒在曲線C上得出遞推式，由bn=

1

an-2

解得an=2+

1

bn

．
代入遞推式后整理即可證明數列{b_n}是等差數列；
③由等差數列的通項公式求出數列{b_n}的通項公式，代入an=2+

1

bn

可求數列{a_n}的通項公式．

解答：①解：聯立

x-y+8=0 xy-2kx+k2=0

，得x²+（8-2k）x+k²=0
因為曲線C：xy-2kx+k²=0與直線l：x-y+8=0有唯一公共點，
所以方程x²+（8-2k）x+k²=0只有唯一解，
所以△=（8-2k）²-4k²=64-32k=0，所以k=2；
②因為k=2，所以曲線C變成xy-4x+4=0
當n≥2時點（a_n-1，a_n）恒在曲線C上，則
a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，
由bn=

1

an-2

，所以an=2+

1

bn

．
則b1=

1

a1-2

=

1

2

．
所以(2+

1

bn-1

)(2+

1

bn

)-4(2+

1

bn-1

)+4=0．

2

bn-1

+

2

bn

+

1

bn

1

bn-1

-

4

bn-1

=0
-

2

bn-1

+

2

bn

+

1

bn

1

bn-1

=0．
整理得bn-bn-1=

1

2

（n≥2）．
所以數列{b_n}是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數列．
③解：由數列{b_n}是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數列，
所以bn=

1

2

+

1

2

(n-1)=

n

2

．
an=2+

1

bn

=2+

1

n 2

=2+

2

n

．

點評：本題是圓錐曲線和數列的綜合題，考查了直線和圓錐曲線的關系，訓練了等差關系的確定，考查了學生綜合處理問題和解決問題的能力，是中高檔題．