Question

已知(1+2

x

)n的展開式中，某一項的系數是它前一項系數的2倍，而等于它后一項的系數的

5

6

．
（1）求該展開式中二項式系數最大的項；
（2）求展開式中系數最大的項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，第r項，第r+2項的系數，根據已知條件列出方程組，求出n的值，得到二項式系數最大的項是第4項和第5項，利用二項展開式的通項公式求出它們的值．
（2）設第r+1項的系數最大，列出不等式組

C r n 2r=2• C r-1 n 2r-1 C r n = 5 6 C r+1 n •2r+1

，求出r的值，代入二項展開式的通項公式求出展開式中系數最大的項．

解答：解：（1）第r+1項系數為C_n^r•2^r，第r項系數為C_n^r-1•2^r-1，第r+2項系數為C_n^r+1•2^r+1
依題意得到

C r n 2r=2• C r-1 n 2r-1 C r n = 5 6 C r+1 n •2r+1

，即

2r=n-1 5(n-r)=3(r-1)

，解得n=7，
所以二項式系數最大的項是第4項和第5項．
所以T4=

C

3 7

(2

x

)3=280x

5

2

，T5=

C

4 7

(2

x

)4=560x2．
（2）設第r+1項的系數最大，則

C r n 2r≥ C r-1 n 2r-1 C r n ≥ C r+1 n •2r+1

解得

13

3

≤r≤

16

3

又因為r∈N，所以r=5
∴展開式中系數最大的項為T6=

C

5 7

(2

x

)5=672 • x

5

2

點評：本題考查解決二項展開式的特定項問題，應該利用的工具是二項展開式的通項公式，屬于中檔題．