Question

設f（x）=alnx-x+4，其中a∈R，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸．
（Ⅰ） 求a的值；
（Ⅱ） 求函數f（x）的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 求導函數，利用曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，可得f′（1）=0，從而可求a的值；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知，f（x）=lnx-x+4（x＞0），f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，確定函數的單調性，即可求得函數f（x）的極值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx-x+4，
∴f′（x）=

a

x

-1
由于曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于y軸，
故該切線斜率為0，即f′（1）=0，
∴a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=lnx-x+4（x＞0），f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，故f（x）在（0，1）上為增函數；
令f′（x）＜0，解得x＞1，故f（x）在（1，+∞）上為減函數；
故f（x）在x=1處取得極大值f（1）=3．

點評：本題考查導數知識的運用，考查導數的幾何意義，函數的單調性與極值，正確求導是關鍵．