Question

設f（x）=alnx-x+4，（a∈R），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數f（x）的定義域為（0，+∞），對函數f（x）求導，根據導數的幾何意義可求f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線斜率k=0，結合已知可求a；
（Ⅱ）令導數f′（x）大于0或小于0，解出x，即可得到函數的單調區間．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=alnx-x+4可知，函數定義域為{x|x＞0}，且f′（x）=

a

x

-1．
由題意，f′（1）=a-1=0，
解得a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）f′（x）=

a

x

-1=

a-x

x

=

1-x

x

（x＞0）．
令f′（x）＞0，解得x＜1；令f′（x）＜0，解得x＞1．
則函數f（x）的單調遞增區間為（0，1），單調遞減區間為（1，+∞）．

點評：本題主要考查了函數的導數的求解，利用導數判斷函數的單調區間，體現了分類討論思想的應用．