Question

 

已知數(shù)列中，，，其前項(xiàng)和滿足.令.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若，求證：（）；

（Ⅲ）令（），求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有的值：①對于任意正整數(shù)，都有；②對于任意的，均存在，使得時(shí)，.

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解（Ⅰ）由題意知即……1′

∴

……3′

檢驗(yàn)知、時(shí)，結(jié)論也成立，故.…………4′

法二：

法三：

（Ⅱ）由于

故.…………9′

（Ⅲ）（ⅰ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）知：，即條件①滿足；又，

∴.

取等于不超過的最大整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，.…10′

（ⅱ）當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∴.

∴.

由（ⅰ）知存在，當(dāng)時(shí)，，

故存在，當(dāng)時(shí)，，不滿足條件. …12′

（ⅲ）當(dāng)時(shí)，∵，，∴，∴.

∴.

取，若存在，當(dāng)時(shí)，，則.

∴矛盾. 故不存在，當(dāng)時(shí)，.不滿足條件.

綜上所述：只有時(shí)滿足條件，故.…………14′