Question

9．已知a，b∈R，若點M（1，2）在矩陣A=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{b}&{4}\end{array}]$對應的變換作用下得到點N（2，-7），求矩陣A的特征值．

Answer 1

分析 先求出矩陣A，再利用矩陣A的特征多項式f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-4}&{-1}\\{-1}&{λ-4}\end{array}|$=（λ-3）（λ-5）=0，求矩陣A的特征值．

解答 解：由題意得$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{b}&{4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{-2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}\\{-7}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=2}\\{b-8=-7}\end{array}\right.$，∴a=4，b=1，
∴A=$[\begin{array}{l}{4}&{1}\\{1}&{4}\end{array}]$，
∴矩陣A的特征多項式f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-4}&{-1}\\{-1}&{λ-4}\end{array}|$=（λ-3）（λ-5），
由f（λ）=0，可得λ=3或5．

點評 本題考查矩陣變換，考查特征多項式的運用，屬于中檔題．