Question

已知f（x）是定義在R上的不恒等于零的函數，且對于任意的a，b∈R，滿足f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，a_n=

f(2n)

n

，b_n=

f(2n)

2n

，n∈N^*，下列結論：
①f（0）=f（1）；②f（x）為偶函數；③f（x）為奇函數；④數列{a_n}為等比數列； ⑤數列{b_n}為等差數列． 正確的序號為

①③④⑤

．

Answer 1

分析：由函數關系式f（ab）=af（b）+bf（a），可以計算f（0）、f（1）的值，判斷①；計算f（-1）的值，得f（-x）與-f（x）的關系，知f（x）的奇偶性，判斷②、③；由f（2）、f（2ⁿ），得出b_n=b_n-1+1，判斷⑤；由b₁、b_n，得出a_n，判斷④．

解答：解：∵f（0）=f（0•0）=0•f（0）+0•f（0）=0；f（1）=f（1•1）=2f（1），∴f（1）=0；∴f（0）=f（1），故①正確；
由f（1）=f[（-1）•（-1）]=-2f（-1），得f（-1）=0，則f（-x）=-1•f（x）+x•f（-1）=-f（x），∴f（x）是奇函數，故②錯誤，③正確；
又∵f（2）=2，∴f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2）=2f（2^n-1）+2ⁿ，∴b_n=

f(2n)

2n

=

2f(2n-1) +2n

2n

=

f(2n-1)

2n-1

+1
即b_n=b_n-1+1，∴{b_n}是等差數列，故⑤正確；
又b₁=

f(2)

2

=1，∴b_n=1+（n-1）×1=n，∴f（2ⁿ）=2ⁿb_n=n•2ⁿ，∴a_n=2ⁿ，∴數列{a_n}是等比數列，故④正確．
故答案為：①③④⑤．

點評：本題考查了數列與函數知識的綜合運用，解題時應用了函數的賦值法，函數的奇偶性，等差、等比數列的定義等知識，要細心解答．