Question

（1）求證：“{a_n}是等差數列”的充要條件是“存在常數k和b，使a_n=kn+b對一切n∈N^*都成立”；
（2）試問：是否存在等差數列{a_n}滿足a_n=a_n²-na_n+1（n∈N^*）？若存在，請求出通項公式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的定義進行證明．（2）根據等差數列的定義推導通項公式，

解答：解：（1）充分性．因為a_n=kn+b對一切n∈N^*都成立，所以a_n+1=k（n+1）+b，
兩式相減得a_n+1-a_n=kn+b-[k（n+1）+b]=k為常數，所以：{a_n}是等差數列．
必要性：若：{a_n}是等差數列，設公差為k，a_n=kn+b=a₁+（n-1）k=kn+a₁-k
取b=a₁-k，則a_n=kn+b成立．
（2）假設存在等差數列{a_n}滿足a_n=a_n²-na_n+1（n∈N^*），設a_n=kn+b，代入a_n=a_n²-na_n+1，得（k²-k）n²+（2bk-b-k）n+b²+1-k-b=0，
從而

k2-k=0        ① 2bk-b-k=0  ② b2+1-k-b=0  ③

，由①得k=0或k=1．若k=0，代入②得b=0不滿足③．
當k=1時，解得b=1，所以a_n=n+1．
故等差數列{n+1}滿足性質．

點評：本題主要考查等差數列的定義和證明，利用定義是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．