Question

已知f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12，m∈R．
（1）若f′（1）=0，求m的值，并求f（x）的單調區間；
（2）若對于任意實數x，f（x）≥0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x）的導數f′（x）=4x³-12x²+2（3+m）x-12，f′（1）=0，求出m的值．再由f′（x）=0，解得x=1，列表討論能得到f（x）的單調區間．
（2）f（x）=（x²+3）（x-2）²+（m-4）x²，由此進行分類討論，能夠求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12，m∈R，
∴f′（x）=4x³-12x²+2（3+m）x-12，
∴f′（1）=4-12+2（3+m）-12=0，
解得m=7．
∴f′（x）=4x³-12x²+20x-12=4（x-1）（x²-2x+3），
方程x²-2x+3=0的判別式△=2²-3×4=-8＜0，
∴x²-2x+3＞0，
所以f′（x）=0，解得x=1，
列表討論

x	（-∞，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓	極小值	↑

由此可得f（x）的單調減區間是（-∞，1），f（x）單調增區間是（1，+∞）．
（2）f（x）=x⁴-4x³+（3+m）x²-12x+12=x⁴-4x³+3x²+mx²-12x+12
=x⁴-4x³+4x²+3x²+mx²-12x+12-4x²=x²（x²-4x+4）+（3x²-12x+12）+mx²-4x²
=x²（x-2）²+3（x-2）²+（m-4）x²=（x-2）²（x²+3）+（m-4）x²．
因為（x-2）²（x²+3）≥0，所以只要討論（m-4）x²是否恒大于0即可．
①當m＜4時，f（2）=4（m-4）＜0，不合題意，
②當m≥4時，f（x）=（x²+3）（x-2）²+（m-4）x²≥0，對一切實數x恒成立，
所以，m的取值范圍是[4，+∞）．

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數的性質的靈活運用．