Question

（本小題滿分13分）

已知圓C₁的方程為，定直線l的方程為．動圓C與圓C₁外切，且與直線l相切．

（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡M的方程；

（II）斜率為k的直線l與軌跡M相切于第一象限的點P，過點P作直線l的垂線恰好經過點A（0，6），并交軌跡M于異于點P的點Q，記為軌跡M與直線PQ圍成的封閉圖形的面積，求的值．

 

 

Answer 1

【答案】

解（Ⅰ）設動圓圓心C的坐標為，動圓半徑為R，則

          ，且    ————2分

    可得 ．

由于圓C1在直線l的上方，所以動圓C的圓心C應該在直線l的上方，所以有，從而得，整理得，即為動圓圓心C的軌跡M的方程．                                            ————5分

（II）如圖示，設點P的坐標為，則切線的斜率為，可得直線PQ的斜率為，所以直線PQ的方程為．由于該直線經過點A（0,6），所以有，得．因為點P在第一象限，所以，點P坐標為（4,2），直線PQ的方程為．                   ——————9分

把直線PQ的方程與軌跡M的方程聯立得，解得或4，可得點Q的坐標為．所以

       

          ．  ——————13分

 

【解析】略