Question

已知點M是圓C：x²+y²=2上的一點，且MH⊥x軸，H為垂足，點N滿足NH=MH，記動點N的軌跡為曲線E．
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）若AB是曲線E的長為2的動弦，O為坐標原點，求△AOB面積S的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設出動點M和N的坐標，由題意把M的坐標用N的坐標表示，代入圓的方程即可得到答案；
（Ⅱ）由題意設出直線AB的方程，和橢圓方程聯立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數關系得到A，B兩點的橫坐標的和與差，由弦長公式得到k和m的關系，由點O到AB的距離公式求出距離，代入面積公式后利用配方法求最值．
解答：（Ⅰ）解：（Ⅰ）設N（x，y），M（x′，y′），則由已知得，x′=x，
代入x²+y²=2得，x²+2y²=2．
所以曲線E的方程為．
（Ⅱ）因為線段AB的長等于橢圓短軸的長，要使三點A、O、B能構成三角形，則弦AB不能與x軸垂直，故
可設直線AB的方程為y=kx+m
由，消去y，并整理，得
（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
又△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0
所以，．
因為|AB|=2，
所以，即
所以，即，
因為1+k²≥1，所以．                
又點O到直線AB的距離，
因為S=，
所以S²=h²=2m²（1-m²）=．
所以，即S的最大值為．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關系的應用，直線與曲線聯立，根據方程的根與系數的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，屬壓軸題．