Question

8．已知直線l₁，l₂方程分別為2x-y=0，x-2y+3=0，且l₁，l₂的交點為P．
（1）求過點P且與直線x+3y-5=0垂直的直線方程；
（2）若直線l過點P，且坐標原點到直線l的距離為1，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用相互垂直的直線斜率之間的關系、點斜式即可得出．
（2）對斜率分類討論，利用點到直線的距離公式及其點斜式即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x-2y+3=0}\end{array}}\right.$得P（1，2），…（2分
則與x+3y-5=0垂直的直線斜率為3，故所求直線方程為y-2=3（x-1）
即3x-y-1=0；…（4分）
（2）當直線?斜率不存在時，則?的方程為x=1，滿足條件；…（6分）
當直線?斜率不存在時，設?的方程為y-2=k（x-1）即：kx-y-k+2=0
則原點到?的距離為$\frac{{|{-k+2}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1$，解得$k=\frac{3}{4}$…（8分）
故所求直線?的方程為$y-2=\frac{3}{4}（x-1）$，即3x-4y+5=0…（9分）
綜上：所求直線方程為x=1或3x-4y+5=0…（10分）

點評 本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關系、點斜式、點到直線的距離公式，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．