Question

設函數(shù)f(x)=log2(ax-bx)，且f（1）=1，f（2）=log₂12
（1）求a，b的值；
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）的最大值；
（3）p為何值時，函數(shù)g(x)=log2(ax-bx+p)與x軸無交點．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f(x)=log2(ax-bx)，且f（1）=1，f（2）=log₂12，知

f(1)=log2(a-b)=1 f(2)=log2(a2-b2)=log212

，由此能求出a，b的值．
（2）由f（x）=log₂（4^x-2^x）=log₂2^x+log₂（2^x-1）在[1，2]是增函數(shù)，能夠求出f（x）的最大值．
（3）由函數(shù)g（x）=log2(ax-bx+p)與x軸無交點，知滿足

4x-2x+p＞0有解 g(x)=log2(4x-2x+p)=0無實數(shù)解

，由此能求出p的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f(x)=log2(ax-bx)，
且f（1）=1，f（2）=log₂12，
∴

f(1)=log2(a-b)=1 f(2)=log2(a2-b2)=log212

，
解得a=4，b=2．
（2）∵f（x）=log₂（4^x-2^x）
=log₂2^x+log₂（2^x-1）在[1，2]是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（2）=log₂12．
（3）∵函數(shù)g（x）=log2(ax-bx+p)與x軸無交點，
∴滿足

4x-2x+p＞0有解 g(x)=log2(4x-2x+p)=0無實數(shù)解

，
∴

4x-2x+p＞0有解① 4x-2x+p=1無實數(shù)解②

，
由①得p＞-4^x+2^x=-（2^x-

1

2

）²+

1

4

有解，
∴p＞[-（2^x-

1

2

）²+

1

4

]_min，
∵-（2^x-

1

2

）²+

1

4

→-∞，∴p∈R．③
由②得p=-4^x+2^x+1=-（2^x-

1

2

）²+

5

4

無實數(shù)解，
而-（2^x-

1

2

）²+

5

4

≤

5

4

，
∴p＞

5

4

，④，
綜合③④知P＞

5

4

．

點評：本題考查滿足條件的實數(shù)的求法，考查函數(shù)的最大值的求法，考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．