Question

已知x=

2

是函數f（x）=

(x2-2ax)ex，x＞0 bx，       x≤0

的極值點．
（1）當b≠0時，討論函數f（x）的單調性；
（2）當b∈R時，函數y=f（x）-m有兩個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當x＞0時，f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x=[x²+2（1-a）x-2a]e^x．由f′(

2

)=0，解得a=1．由此能夠得到當b≠0時，函數f（x）的單調性．
（2）當x∈（0，

2

）時，f（x）單調遞減，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，0），當x∈(

2

，+∞)時，f（x）單調遞增，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．要使函數y=f（x）-m有兩個零點，則函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．由此能求出實數m的取值范圍．

解答：解：（1）當x＞0時，f（x）=（x²-2ax）e^x，
∴f′（x）=（2x-2a）e^x+（x²-2ax）e^x
=[x²+2（1-a）x-2a]e^x．
由已知得，f′(

2

)=0，∴2+2

2

-2a-2

2

a=0，解得a=1．…（3分）
∴f（x）=（x²-2x）e^x，∴f′（x）=（x²-2）e^x．
當x∈（0，

2

）時，f′（x）＜0，當x∈（

2

，+∞）時，f′（x）＞0．又f（0）=0，
所以當b＜0時，f（x）在（-∞，

2

）上單調遞減，（

2

，+∞）單調遞增；
當b＞0時，f（x）在（-∞，0），（

2

，+∞）上單調遞增，在（0，

2

）上單調遞減． …（7分）
（2）由（1）知，當x∈（0，

2

）時，f（x）單調遞減，f（x）∈（(2-2

2

)e

2

，0），
當x∈(

2

，+∞)時，f（x）單調遞增，f（x）∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．…（9分）
要使函數y=f（x）-m有兩個零點，則函數y=f（x）的圖象與直線y=m有兩個不同的交點．
①當b＞0時，m=0或m=（2-

2

）e

2

；
②當b=0時，m∈（（2-2

2

）e

2

，0）；
 ③當b＜0時，m∈（（2-2

2

）e

2

，+∞）．…（13分）

點評：本題考查函數單調性的求法，考查實數的取值范圍的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．