Question

已知正項等差數列{a_n}滿足a₁+a₆=a₂（a₃-1），公比為q的等比數列{b_n}的前n項和S_n滿足2S₁+S₃=3S₂，a₁=b₁=1．
（1）求數列{a_n}的通項公式和公比q的值；
（2）設數列{ban}的前n項和為T_n，求使不等式3T_n＞b_n+2+7成立的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用等差數列的通項公式即可得出d和a_n，利用等比數列的通項公式和前n項和的意義即可得出q；
（2）利用（1）即可得出ban，再利用等比數列的前n項和公式即可得出T_n；代入不等式3T_n＞b_n+2+7即可得出．

解答：解：（1）設等差數列{a_n}的公差為d．
∵a₁=1，a₁+a₆=a₂（a₃-1），
∴2+5d=（1+d）（2d）
解得d=2或d=-

1

2

．
又∵a_n＞0，∴d=2．
∴a_n=2n-1．
由b₁=1，2S₁+S₃=3S₂，
∴2+（1+q+q²）=3（1+q），
∴q=0或q=2．
∵{b_n}為等比數列，∴q=2，
∴bn=2n-1．
（2）∵ban=22n-2=4n-1，
∴Tn=

4n-1

4-1

=

4n-1

3

．
∵3T_n＞b_n+2+7，∴4ⁿ-1＞2ⁿ⁺¹+7
即（2ⁿ）²-2•2ⁿ-8＞0，解得2ⁿ＞4．
∴n＞2，即（n）_min=3．

點評：本題考查了等差數列的通項公式、等比數列的通項公式和前n項和的公式及其意義等基礎知識與基本方法，屬于難題．