Question

如圖，在底面是菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=a，PB=PD=，點E是PD的中點．
（I）證明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；
（II）求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角θ的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據底面ABCD是菱形判斷出∠ABC=60°，且四邊長相等，在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²可推斷出PA⊥AB．同樣可推斷出，PA⊥AD，進而根據直線與面垂直的定義判斷出PA⊥平面ABCD．進而根據=判斷出、、共面．，進而根據直線與面平行的判定法則，推斷出PB∥平面EAC．
（Ⅱ）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．GH⊥AC于H，連接EH，進而可推斷出EG⊥平面ABCD．EH⊥AC，進而可知∠EHG即為二面角θ的平面角．進而根據E是PD的中點，從而G是AD的中點，分別求得EG和GH，進而根據求得答案．
解答：（Ⅰ）證明：因為底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=a，
在△PAB中，由PA²+AB²=2a²=PB²知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．
因為=
所以、、共面．
又PB?平面EAC，所以PB∥平面EAC．

（Ⅱ）解：作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD．
知EG⊥平面ABCD．
作GH⊥AC于H，連接EH，則EH⊥AC，∠EHG即為二面角θ的平面角．
又E是PD的中點，從而G是AD的中點，
所以

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定和二面角的問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．