Question

已知A、B、C是直線l上的三點，向量

OA

、

OB

、

OC

滿足：

OA

=[y+3xf′（1）]

OB

-2lnx•

OC

 則函數y=f（x）的表達式為

2lnx-

3

2

x+1

．

Answer 1

分析：利用 A、B、C共線時，

OA

=λ

OB

+（1-λ）

OC

，建立等式①，對①求導數得到 f′（1）的值，再把此值代入①求出f（x）的解析式．

解答：解：∵A、B、C是直線l上的三點，
向量

OA

、

OB

、

OC

滿足：

OA

=[y+3xf′（1）]

OB

-2lnx•

OC

，
∴y+3xf′（1）-2lnx=1  ①，
對①求導數得 y′+3f′（1）-

2

x

=0，
∴f′（1）=

1

2

，代入①式的得：f（x）=2lnx-

3

2

x+1．
故答案為：2lnx-

3

2

x+1．

點評：本題考查三個向量共線的性質以及求函數的導數的方法，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．