Question

已知橢圓C：+=1 （a＞b＞0）以雙曲線的焦點為頂點，其離心率與雙曲線的離心率互為倒數．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C的左、右頂點分別為點A，B，點M是橢圓C上異于A，B的任意一點．
①求證：直線MA，MB的斜率之積為定值；
②若直線MA，MB與直線x=4分別交于點P，Q，求線段PQ長度的最小值．

Answer 1

解：（1）易知雙曲線的焦點為（-2，0），（2，0），離心率為，
則在橢圓C中a=2，e=，故在橢圓C中c=，b=1，∴橢圓C的方程為．
（2）①設M（x₀，y₀）（x₀≠±2），由題易知A（-2，0），B（2，0），則k_MA=，k_MB=，
∴k_MA•k_MB==，
∵點M在橢圓C上，∴，即=-，故k_MA•k_MB=，即直線MA，MB的斜率之積為定值．
②設P（4，y₁），Q（4，y₂），則k_MA=k_PA=，k_MB=k_BQ=，
由①得，即y₁y₂=-3，當y₁＞0，y₂＜0時，|PQ|=|y₁-y₂|≥2=2，當且僅當y₁=，y₂=-時等號成立．
同理，當y₁＜0，y₂＞0時，當且僅當y₁=-，y₂=時，|PQ|有最小值2．
分析：（1）利用橢圓、雙曲線的標準方程及其性質即可得出；
（2）①利用點在橢圓上、斜率計算公式即可證明；
②利用①的結論、斜率計算公式、基本不等式的性質即可求出．
點評：數列掌握圓錐曲線的定義、標準方程及其性質、斜率計算公式、基本不等式的性質是解題的關鍵．善于利用已經證明的結論是常用的方法之一．