Question

已知拋物線C的頂點為原點，其焦點F(0，c)(c＞0)到直線l：x－y－2＝0的距離為．設P為直線l上的點，過點P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點．

(Ⅰ)求拋物線C的方程；

(Ⅱ)當點P(x₀，y₀)為直線l上的定點時，求直線AB的方程；

(Ⅲ)當點P在直線l上移動時，求|AF|·|BF|的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)依題意，設拋物線的方程為，由結合， 　　解得． 　　所以拋物線的方程為． 　　(Ⅱ)拋物線的方程為，即，求導得 　　設，(其中)，則切線的斜率分別為，， 　　所以切線的方程為，即，即 　　同理可得切線的方程為 　　因為切線均過點，所以， 　　所以為方程的兩組解． 　　所以直線的方程為． 　　(Ⅲ)由拋物線定義可知，， 　　所以 　　聯立方程，消去整理得 　　由一元二次方程根與系數的關系可得， 　　所以 　　又點在直線上，所以， 　　所以 　　所以當時，取得最小值，且最小值為．