Question

（（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講
如圖，已知AD是的外角的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交的外接圓于點F，連結FB、FC

（I）求證：FB=FC；
（II）求證：FB²=FA·FD；
（III）若AB是外接圓的直徑，求AD的長。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵AD平分ÐEAC，∴ÐEAD=ÐDAC．
∵四邊形AFBC內接于圓，∴ÐDAC=ÐFBC．
∵ÐEAD=ÐFAB=ÐFCB，∴ÐFBC=ÐFCB，
∴FB=FC．…………………………3分
（Ⅱ）∵ÐFAB=ÐFCB=ÐFBC，ÐAFB=ÐBFD，
∴ΔFBA∽ΔFDB．∴，
∴    FB²=FA·FD．    ……………………6分
（Ⅲ）∵AB是圓的直徑，∴ÐACB=90°．
∵ÐEAC=120°，∴ÐDAC=ÐEAC=60°，ÐBAC=60°．∴ÐD=30°．
∵BC= 6，∴AC=．∴AD=2AC=cm．………………………10分

略