Question

已知定點F（2，0）和定直線l：x=

9

2

，若點P（x，y）到直線l的距離為d，且d=

3

2

|PF|
（1）求點P的軌跡方程；
（2）若F′（-2，0），求

PF

•

PF′

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意求出點P到l的距離，由兩點間的距離公式求出|PF|，代入d=

3

2

|PF|整理即可得到答案；
（2）有點的坐標寫出向量的坐標，結合橢圓方程化為含有一個未知量的代數式，由x得范圍得答案．

解答：解：（1）點P（x，y）到直線l的距離d=|

9

2

-x|，|PF|=

(x-2)2+y2

．
由d=

3

2

|PF|，得|

9

2

-x|=

3

2

(x-2)2+y2

，
整理得

x2

9

+

y2

5

=1；
（2）

PF

=(2-x，-y)，

PF′

=(-2-x，-y)

PF

•

PF′

=x2-4+y2
=x2-4+(5-

5

9

x2)=

4

9

x2+1
∵|x≤3|，∴1≤

PF

•

PF′

≤5．

點評：本題考查了與直線有關的動點軌跡方程，考查了平面向量的數量積運算，訓練了代入法，是中檔題．