Question

已知動圓過定點（，0），且與直線x=-相切，其中p＞0．
（I）求動圓圓心C的軌跡的方程；
（II）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α，β變化且α+β為定值θ（0＜θ＜π）時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（I）設M為動圓圓心，（，0）為記為F，過點M作直線x=-的垂線，垂足為N，進而可知動點M到定點F與定直線x=-的距離相等，進而推斷點M的軌跡為拋物線，進而根據拋物線性質可得答案．
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設其方程為y=kx+b，與拋物線方程聯立，根據韋達定理表示出y₁+y₂，y₁•y₂，分θ=和θ≠時，求得直線方程，進而判斷直線AB恒過是否定點．
解答：解：（I）如圖，設M為動圓圓心，（，0）為記為F，
過點M作直線x=-的垂線，垂足為N，
由題意知：|MF|=|MN|，即動點M到定點F與定直線x=-的距離相等，
由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，
其中F（，0）為焦點，x=-為準線，
所以軌跡方程為y²=2px（P＞0）；

（II）如圖，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π）且x₁，x₂≠0．
所以直線AB的斜率存在，設其方程為y=kx+b，顯然x₁=，x₂=．
將y=kx+b與y²=2px（p＞0）聯立消去x，得ky²-2py+2pb=0
由韋達定理知y₁+y₂=，y₁•y₂=①
（1）當θ=時，即α+β=時，tanα•tanβ=1．
所以•，x₁x₂-y₁y₂=0，-y₁y₂=0．
所以y₁y₂=4p²
由①知：=4p²，所以b=2pk．
因此直線AB的方程可表示為y=kx+2Pk．
即k（x+2P）-y=0所以直線AB恒過定點（-2p，0）
（2）當θ≠時，由α+β=θ，得tanθ=tan（α+β）==
將①式代入上式整理化簡可得：tanθ=，所以b=+2pk．
此時，直線AB的方程可表示為y=kx++2pk．即k（x+2p）-（y-）=0．
所以直線AB恒過定點（-2p，）．
所以由（1）（2）知，當θ=時，直線AB恒過定點（-2p，0），當θ≠時直線AB恒過定點（-2p，）．
點評：本題主要考查了求軌跡方程的問題．涉及直線的拋物線的關系，常需要聯立方程根據韋達定理找到解決問題的突破口．