Question

已知動圓過定點(

p

2

，0)，且與直線x=-

p

2

相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設A、B是軌跡C上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，當α、β變化且α+β=

π

4

時，證明直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設動圓圓心為M（x，y），則

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|，由此能導出所求動圓圓心的軌跡C的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設直線AB的方程為y=kx+b，把y=kx+b代入y²=2px：得ky²-2py+2pb=0，由韋達定理知，y1+y2=

2p

k

，y1•y2=

2pb

k

，由α+β=

π

4

得：1=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

y1 x1 + y2 x2

1- y1 x1 • y2 x2

=

2p(y1+y2)

y1y2-4p2

，由此能求出直線AB恒過定點（-2p，2p）．

解答：解：（Ⅰ）設動圓圓心為M（x，y）…（1分）
則

(x- p 2 )2+y2

=|x+

p

2

|，
化簡，得：y²=2px（p＞0）…（3分）
∴所求動圓圓心的軌跡C的方程是：y²=2px（p＞0）…（4分）
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意得x₁≠x₂（否則α+β=π），且x₁≠0，x₂≠0，
所以直線AB的斜率存在，設其方程為y=kx+b，
顯然x1=

y12

2p

，x2=

y22

2p

．即

y1

x1

=

2p

y1

，

y2

x2

=

2p

y2

，…（6分）
把y=kx+b代入y²=2px：得ky²-2py+2pb=0，
由韋達定理知，y1+y2=

2p

k

，y1•y2=

2pb

k

①…（8分）
由α+β=

π

4

得：1=tan(α+β)=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

y1 x1 + y2 x2

1- y1 x1 • y2 x2

=

2p(y1+y2)

y1y2-4p2

把①代入上式，整理化簡，得：1=

2p

b-2pk

，∴b=2p+2pk，…（11分）
此時，直線AB的方程可表示為：y=kx+2p+2pk，即k（x+2p）-（y-2p）=0…（13分）
∴直線AB恒過定點（-2p，2p）．…（14分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．