Question

【題目】已知橢圓的離心率為，分別為的上、下頂點(diǎn)且為外的動(dòng)點(diǎn)，且到上點(diǎn)的最近距離為1．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)直線分別與橢圓交于兩點(diǎn)，若的面積是的面積的倍，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是列出兩個(gè)獨(dú)立條件，解對(duì)應(yīng)方程組即可，本題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化條件：到上點(diǎn)的最近距離為，再結(jié)合離心率可得，（2）求最值問題，首先將研究對(duì)象轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)：，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，解出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，，，代入化簡得，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)或基本不等式求最值

試題解析：（1）由于到橢圓上點(diǎn)的最近距離，∴，

又，解得，

所以橢圓方程為

（2）解法一：，

直線方程為：，聯(lián)立，得，

所以到的距離

，

直線方程為：，聯(lián)立，得，

所以，所以，

所以，

所以，

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”，所以的最大值為

解法二：直線方程為，聯(lián)立，得，

直線方程為：，聯(lián)立，得，

，

令，則，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“”，

所以的最大值為