Question

設關于x的不等式x²-x＜2nx（n∈N）的解集中整數的個數為a_n，則數列{a_n}的前n項和S_n=

n²+n

．

Answer 1

分析：解題中的一元二次不等式，得解集為（0，2n+1），從中找出整數的個數得到a_n=2n，再用等差數列的求和公式進行計算，即可得到數列{a_n}的前n項和S_n．

解答：解：∵不等式x²-x＜2nx化成x²-（2n+1）x＜0
∴解之得0＜x＜2n+1，解集為（0，2n+1）
∵區間（0，2n+1）中的整數共有2n個，
∴可得a_n=2n，{a_n}構成以2為首項，公差d=2的等差數列
∴{a_n}的前n項和S_n=2n+

n(n-1)

2

×2=n²+n．
故答案為：n²+n

點評：本題給出數列的通項為不等式的解集中整數的個數，求數列{a_n}的前n項和S_n．著重考查了二元一次不等式的解法和等差數列的求和公式等知識，屬于基礎題．