Question

設(shè)過定點M（0，2）的直線l與橢圓

x2

4

+y2=1交于不同的兩點A、B．且∠AOB為銳角，求直線l的斜率k的取值范圍．．

Answer 1

分析：設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及∠AOB為銳角，建立不等式，即可求得直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：顯然直線x=0不滿足條件，可設(shè)直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
直線代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²+16kx+12=0
∵△=（16k）²-4×12×（1+4k²）＞0，∴k＜-

3

2

或k＞

3

2

x₁+x₂=-

16k

1+4k2

，x₁x₂=

12

1+4k2

∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=

4-4k2

1+4k2

由于∠AOB為銳角，∴

OA

•

OB

＞0，即x₁x₂+y₁y₂＞0，∴

12

1+4k2

+

4-4k2

1+4k2

＞0
解得2＜k＜2
∴直線l的斜率的取值范圍是（-2，-

3

2

）∪（

3

2

，2）

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．