Question

設F₁、F₂分別是橢圓

x2

4

+y2=1的左、右焦點．
（Ⅰ）若P是該橢圓上的一個動點，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（Ⅱ）設過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）橢圓

x2

4

+y2=1中，a=2，b=1，c=

3

，F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，設p（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y）=x²+y²-3，由x∈[-2，2]，能求出

PF1

•

PF2

的最大值和最小值．
（Ⅱ）設直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，得(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0，由△=(4k)2-4(k2+

1

4

)×3=4k²-3＞0，能求出直線l的斜率k的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）橢圓

x2

4

+y2=1中，a=2，b=1，c=

3

，
∴F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，
設p（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-

3

-x，-y)•(

3

-x，-y）=x²+y²-3，
∵x∈[-2，2]，∴當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，

PF1

•

PF2

有最小值-2．
當x=±2，即點P為橢圓長軸端點時，

PF1

•

PF2

有最大值1．
（Ⅱ）∵直線x=0不滿足題設條件，
∴設直線l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，消去y，得(k2+

1

4

)x2+4kx+3=0，
∵過定點M（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，
∴△=(4k)2-4(k2+

1

4

)×3=4k²-3＞0，
解得k＞

3

2

，或k＜-

3

2

．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合運用，具體涉及到橢圓的簡單性質、韋達定理、根與系數的關系等基本知識點，解題時要認真審題，仔細解答．