Question

在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且4cosC•sin2

C

2

+cos2C=0．
（1）若函數f（x）=sin（2x-C），求f（x）的單調增區間；
（2）若3ab=25-c²，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用已知等式，通過二倍角的余弦函數化簡，求出C的余弦值，得到C的大小，化簡函數f（x）=sin（2x-C），利用正弦函數的單調性，求f（x）的單調增區間；
（2）利用3ab=25-c²，由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC，25-3ab=a²+b²-ab，求出（a+b）²=5，利用基本不等式求解面積的最大值．

解答：解：（1）由條件：4cosC•

1-cosC

2

+2cos2C-1=0，∴cosC=

1

2

故C=

π

3

，則f(x)=sin(2x-

π

3

)，
∴-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ∴-

π

12

+kπ≤x≤

5

12

π+kπ，k∈Z
所以f（x）的單調增區間為[-

π

12

+kπ，

5

12

π+kπ]k∈Z
（2）由余弦定理：c²=a²+b²-2abcosC
∴25-3ab=a²+b²-ab，（a+b）²=25a+b=5
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab≤

3

4

(

a+b

2

)2=

25 3

16

當且僅當a=b=

5

2

取得最大值．

點評：本題考查二倍角的余弦函數，余弦定理，正弦函數的單調性，三角形的面積以及基本不等式的應用，考查計算能力．