Question

設函數f（x）=

1

3

x³-

1

2

x²+2x，g（x）=

1

2

ax²-（a-2）x，
（I）對于任意實數x∈[-1，2]，f′（x）≤m恒成立，求m的最小值；
（II）若方程f（x）=g（x）在區間（-1，+∞）有三個不同的實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導函數，再求導函數的最大值，從而求出m的最小值；
（II）先令令h（x）=f（x）-g（x）=

1

6

x[2x2-3(a+1)x+6a]，從而等價于2x²-3（a+1）x+6a=0有兩個大于-1且不等于0的根，進而可以解決．

解答：解：（I）f′（x）=x²-x+2≤m，對稱軸x=

1

2

∈[-1，2]，f′（x）_max=f′（-1）=4≤m，即m的最小值為4
（II）令h（x）=f（x）-g（x）=

1

6

x[2x2-3(a+1)x+6a]
依題意得2x²-3（a+1）x+6a=0有兩個大于-1且不等于0的根，
∴

△=9(a+1)2-48a＞0 x= 3(a+1) 4 ＞-1 2+3(a+1)+6a=9a+5＞0 a≠0

，從而解得-

5

9

＜a＜

1

3

(a≠0)或a＞3．

點評：本題研究恒成立問題，只需要轉化為求函數的最大值即可，（II）中等價化簡是簡化解題的關鍵