Question

已知橢圓Ω：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為2

3

，且經過點（1，

3

2

）．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）A是橢圓Ω與y軸正半軸的交點，橢圓Ω上是否存在兩點M、N，使得△AMN是以A為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的a，b，c的關系和已知點在橢圓上，解方程即可得到a，b，進而得到橢圓方程；
（Ⅱ）由題意可知，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于x軸，故可設AM所在直線的方程為y=kx+1，不妨設k＞0，聯立直線方程和橢圓方程，消去y，解方程求得M的坐標，同樣求得N的坐標，由AM=AN，求得k，討論k，即可判斷符合條件的三角形的個數．

解答： 解：（Ⅰ）由題意可得，

a2-b2=3 1 a2 + 3 4b2 =1

解得a²=4，b²=1，
所以橢圓Ω的方程為

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由題意可知，直角邊AM，AN不可能垂直或平行于x軸，
故可設AM所在直線的方程為y=kx+1，不妨設k＞0，
則直線AM所在的方程為y=-

1

k

x+1．
聯立方程

y=kx+1 x2+4y2=4

，消去y，整理得（1+4k²）x²+8kx=0，
解得xM=-

8k

1+4k2

，
將xM=-

8k

1+4k2

，代入y=kx+1可得，yM=

-8k2

1+4k2

+1，
故點M(-

8k

1+4k2

，

-8k2

1+4k2

+1)．
所以|AM|=

(- 8k 1+4k2 )2+(- 8k2 1+4k2 )2

=

8k 1+k2

1+4k2

．
同理可得|AN|=

8 1+k2

4+k 2

，由|AM|=|AN|，得k（4+k²）=1+4k²，
所以k³-4k²+4k-1=0，則（k-1）（k²-3k+1）=0，解得k=1或k=

3± 5

2

．
當AM斜率k=1時，AN斜率-1；當AM斜率k=

3+ 5

2

時，AN斜率

-3+ 5

2

；
當AM斜率k=

3- 5

2

時，AN斜率

-3- 5

2

．
綜上所述，符合條件的三角形有3個．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查直線方程和橢圓方程聯立，解交點，考查兩直線垂直的條件，考查運算能力，屬于中檔題．