Question

設Q是圓O′：（x+1）²+y²=8上的動點，F是拋物線y²=4x的焦點，線段FQ的垂直平分線l交半徑O′Q于點P．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）斜率為k的直線l過點（0，

k2+1

）且與軌跡C交于不同的兩點A，B，記△AB0的面積為S=f（k），若

OA

 • 

OB

=m（

3

5

≤m≤

3

4

），求f（k）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得|PO′|+|PQ|=R，又|PQ|=|PF|，所以得到P點的軌跡為橢圓，且可知a，c的值，代入b²=a²-c²求出b的值，則橢圓方程可求；
（2）設出直線方程，為方便可令t=

k2+1

，和橢圓方程聯立，化為關于x的一元二次方程，得到直線和橢圓兩個焦點的橫坐標的和與積，代入數量積

OA

•

OB

=m后得到k與m的關系，利用原題給出的m的范圍求得k的范圍，
由弦長公式求出|AB|，由點到直線的距離公式求出O到直線的距離，代入三角形的面積公式后化為關于k的函數式，化簡整理后利用單調性求最值．

解答：解：（1）O′（-1，0），半徑R=2

2

，因為線段FQ的垂直平分線l交半徑O′Q于點O，連結PF，
所以|PQ|=|PF|，|PO′|+|PQ|=R，故|PO′|+|PF|=2

2

(2

2

＞2=|O′F|)，
由橢圓的定義，點P的軌跡是以O′，F為焦點的橢圓，設其方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
則a=

2

，c=1，b²=a²-c²=1．
故點P的軌跡C的方程是

x2

2

+y2=1；
（2）設斜率為k的直線的方程為y=kx+t，其中t=

k2+1

．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則
由

y=kx+t x2 2 +y2=1

，消去y得（2k²+1）x²+4ktx+2t²-2=0．
又△=8k²＞0（k≠0），所以x1+x2=-

4kt

2k2+1

，x1x2=

2t2-2

2k2+1

．
則

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+t)(kx2+t)
=(1+k2)x1x2+tk(x1+x2)+t2
=

k2+1

2k2+1

．
故

k2+1

2k2+1

=m．因為

3

5

≤m≤

3

4

，所以

3

5

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

，
所以

1

2

≤k2≤2，
由弦長公式得：|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+k2

•

2 2k2

2k2+1

．
原點O到直線y=kx+t的距離d=

|t|

k2+1

=

k2+1

k2+1

=1．
所以f(k)=S=

1

2

|AB|•d=

k2+1

•

2k2

2k2+1

=

2k2(k2+1) (2k2+1)2

=

1 2 [1- 1 (2k2+1)2 ]

．
在[

1

2

，2]上是k²的增函數，故當k2=

1

2

時，f(k)min=

6

4

；當k²=2時，f(x)max=

2 3

5

．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了數量積在解題中的應用，涉及直線與圓錐曲線的關系問題，經常利用直線與圓錐曲線聯立，借助于一元二次方程的根與系數關系解題，避免了更為繁雜的運算，是解決該類問題的常用方法，考查了學生的計算能力，屬壓軸題．