Question

【題目】動點到定點的距離比它到直線的距離小1，設動點的軌跡為曲線，過點的直線交曲線于、兩個不同的點，過點、分別作曲線的切線，且二者相交于點.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）求證： ；

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）題設條件可轉化為動點到定點的距離等于它到直線距離

∴動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，可得方程為；（Ⅱ）設直線的方程為： ，由得，根據韋達定理，可得， ，利用導數的幾何意義可得兩切線的方程，兩方程聯立可得，再根據平面向量數量積公式化簡可得結論.

試題解析：（Ⅰ）由已知，動點在直線上方，條件可轉化為動點到定點的距離等于它到直線距離

∴動點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線故其方程為.

（Ⅱ）證：設直線的方程為：

由得：

設， ，則，

由得： ，∴

∴直線的方程為： ①

直線的方程為： ②

①-②得： ，即

將代入①得：

∴故

∴，

∴