Question

【題目】已知橢圓C：的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P（1，）為橢圓上一點．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）如圖，過點C（0，1）且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1=2k2，求直線l斜率的值．

Answer 1

【答案】(1);(2)

【解析】

（1）根據題意，由橢圓離心率可得a=2c，進而可得，則橢圓的標準方程為，將P的坐標代入計算可得c的值，即可得答案；

（2）根據題意，設直線l的方程為y=kx+1，設M（x1，y1），N（x2，y2），將直線的方程與橢圓聯立，可得（3+4k2）x2+8kx-8=0，由根與系數的關系分析，：，，結合橢圓的方程與直線的斜率公式可得，即12k2-20k+3=0，解可得k的值，即可得答案．

解：（1）根據題意，橢圓的離心率為，即e==2，則a=2c．

又∵a2=b2+c2，∴．

∴橢圓的標準方程為：．

又∵點P（1，）為橢圓上一點，∴，解得：c=1．

∴橢圓的標準方程為：．

（2）由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設其方程為y=kx+1．

設M（x1，y1），N（x2，y2）．

聯列方程組：，消去y可得：（3+4k2）x2+8kx-8=0．

∴由韋達定理可知：，．

∵，，且k1=2k2，∴，即．①

又∵M（x1，y1），N（x2，y2）在橢圓上，

∴，．②

將②代入①可得：，即3x1x2+10（x1+x2）+12=0．

∴，即12k2-20k+3=0．

解得：或．

又由k＞1，則．