Question

已知ABCD是邊長為a，∠DAB=60°的菱形，點p為ABCD 所在平面外一點，面PAD為正三角形，其所在平面垂直于面ABCD
（1）若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；
（2）求證：AD⊥PB；
（3）若E為BC的中點，能否在PC上找到一F使平面DEF⊥平面ABCD．

Answer 1

證明：（1）連接BD，ABCD是邊長為a，∠DAB=60°的菱形，
G為AD的中點，∴BG⊥AD，平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴BG⊥平面PAD；
（2）連接PG，面PAD為正三角形，其所在平面垂直于面ABCD，
PG⊥平面ABCD，BG是PB在平面ABCD內的射影，
BG⊥AD，
∴AD⊥PB；
（3）連接ED、GC交于點O，易得O為GC中點，
在平面PGC內，作OF∥GP，交PC于點F，F為PC中點，
FO⊥平面ABCD；
∴平面DEF⊥平面ABCD．
分析：（1）連接BD，利用ABCD是邊長為a，∠DAB=60°的菱形，G為AD的中點，推出BG⊥AD，然后證明BG⊥平面PAD；
（2）連接PG，利用PG⊥平面ABCD，BG是PB在平面ABCD內的射影，推出AD⊥PB；
（3）連接ED、GC交于點O，易得O為GC中點，通過作OF∥GP，交PC于點F，F為PC中點，說明FO⊥平面ABCD；即可證明結論．
點評：本題考查直線與平面的位置關系的證明，平面與平面的垂直，直線與直線的垂直，考查轉化思想，空間想象能力．