Question

已知函數f（x）=2sin

x

4

•cos

x

4

+

3

cos

x

2

．
（1）求函數f（x）的最小正周期及最值；
（2）令g（x）=f(x+

π

3

)，判斷函數g（x）的奇偶性，并說明理由．

Answer 1

分析：利用二倍角公式、兩角和的正弦函數化簡函數f（x）=2sin

x

4

•cos

x

4

+

3

cos

x

2

，為y=2sin(

x

2

+

π

3

)，
（1）直接利用周期公式求出周期，求出最值．
（2）求出g（x）=f(x+

π

3

)的表達式，g（x）=2cos

x

2

．然后判斷出奇偶性即可．

解答：解：（1）∵f（x）=sin

x

2

+

3

cos

x

2

=2sin(

x

2

+

π

3

)，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1 2

=4π．
當sin(

x

2

+

π

3

)=-1時，f（x）取得最小值-2；
當sin(

x

2

+

π

3

)=1時，f（x）取得最大值2．
（2）g（x）是偶函數．理由如下：
由（1）知f（x）=2sin(

x

2

+

π

3

)，
又g（x）=f(x+

π

3

)，
∴g（x）=2sin[

1

2

(x+

π

3

)+

π

3

]
=2sin(

x

2

+

π

2

)=2cos

x

2

．
∵g（-x）=2cos(-

x

2

)=2cos

x

2

=g（x），
∴函數g（x）是偶函數．

點評：本題是基礎題，考查三角函數的化簡與求值，考查三角函數的基本性質，常考題型．