已知函數,
(1)若函數在
上是減函數,求實數
的取值范圍;
(2)是否存在實數,當
(
是自然常數)時,函數
的最小值是3,若存在,求出
的值;若不存在,說明理由;
(3)當時,證明:
.
(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.
解析試題分析:(1)先對函數進行求導,根據函數h(x)在[2,3]上是減函數,可得到其導函數在[2,3]上小于等于0應該恒成立,再結合二次函數的性質可求得a的范圍;(2)先假設存在,然后對函數g(x)進行求導,再對a的值分情況討論函數g(x)在(0,e]上的單調性和最小值取得,可知當a=e2能夠保證當x∈(0,e]時g(x)有最小值3;(3)結合(2)知
的最小值為3,只須證明
即可,令
,則
在
上單調遞增,∴
的最大值為
故
,即
得證.
解:(1)令,則
,
(1分))∵
在
上是減函數,
∴在
上恒成立,即
在
上恒成立 (2分)
而在
上是減函數,∴
的最小值為
(4分)
(2)假設存在實數,使
有最小值是3,∵
,
若,則
,∴
在
上為減函數,
的最小值為
∴與
矛盾, (5分)
若時,令
,則
當,即
,
在
上單調遞減,在
上單調遞增
,解得
(7分)
當,即
時,
在
上單調遞減
∴與
矛盾, (9分)
(3)∵,由
整理得
, (10分)
而由(2)知的最小值為3,只須證明
即可 (11分))
令,則
在
上單調遞增,
∴的最大值為
(12分)
故,即
(14分)
(接11分處另解, 即證,即證
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
某食品公司為了解某種新品種食品的市場需求,進行了20天的測試,人為地調控每天產品的單價P(元/件):前10天每天單價呈直線下降趨勢(第10天免費贈送品嘗),后10天呈直線上升,其中4天的單價記錄如表:
時間(將第x天記為x)x | 1 | 10 | 11 | 18 |
單價(元/件)P | 9 | 0 | 1 | 8 |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數f(x)=xk+b(其中k,b∈R且k,b為常數)的圖象經過A(4,2)、B(16,4)兩點.
(1)求f(x)的解析式;
(2)如果函數g(x)與f(x)的圖象關于直線y=x對稱,解關于x的不等式:g(x)+g(x-2)>2a(x-2)+4.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知函數f(x)=在區間[-1,1]上是增函數.
(1)求實數a的值組成的集合A;
(2)設x1、x2是關于x的方程f(x)=的兩個相異實根,若對任意a∈A及t∈[-1,1],不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,求實數m的取值范圍.
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