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已知函數
(1)若函數上是減函數,求實數的取值范圍;
(2)是否存在實數,當是自然常數)時,函數的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,說明理由;
(3)當時,證明:.

(1);(2)詳見解析;(3)詳見解析.

解析試題分析:(1)先對函數進行求導,根據函數h(x)在[2,3]上是減函數,可得到其導函數在[2,3]上小于等于0應該恒成立,再結合二次函數的性質可求得a的范圍;(2)先假設存在,然后對函數g(x)進行求導,再對a的值分情況討論函數g(x)在(0,e]上的單調性和最小值取得,可知當a=e2能夠保證當x∈(0,e]時g(x)有最小值3;(3)結合(2)知的最小值為3,只須證明即可,令,則上單調遞增,∴的最大值為 ,即得證.
解:(1)令,則
  (1分))∵上是減函數,
上恒成立,即上恒成立 (2分)
上是減函數,∴的最小值為
  (4分)
(2)假設存在實數,使有最小值是3,∵
,則,∴上為減函數,的最小值為
矛盾, (5分)
時,令,則
,即上單調遞減,在上單調遞增
,解得   (7分)
,即時,上單調遞減
矛盾,  (9分)
(3)∵,由整理得, (10分)
而由(2)知的最小值為3,只須證明即可  (11分))
,則上單調遞增,
的最大值為(12分)
,即   (14分)
(接11分處另解, 即證,即證

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知,函數.
⑴若不等式對任意恒成立,求實數的最值范圍;
⑵若,且函數的定義域和值域均為,求實數的值.

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已知.
(1)當,時,若不等式恒成立,求的范圍;
(2)試判斷函數內零點的個數,并說明理由.

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某食品公司為了解某種新品種食品的市場需求,進行了20天的測試,人為地調控每天產品的單價P(元/件):前10天每天單價呈直線下降趨勢(第10天免費贈送品嘗),后10天呈直線上升,其中4天的單價記錄如表:

時間(將第x天記為x)x
1
10
11
18
單價(元/件)P
9
0
1
8
而這20天相應的銷售量Q(百件/天)與x對應的點(x,Q)在如圖所示的半圓上.

(1)寫出每天銷售收入y(元)與時間x(天)的函數關系式y=f(x).
(2)在這20天中哪一天銷售收入最高?為使每天銷售收入最高,按此次測試結果應將單價P定為多少元為好?(結果精確到1元)

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知函數f(x)=xk+b(其中k,b∈R且k,b為常數)的圖象經過A(4,2)、B(16,4)兩點.
(1)求f(x)的解析式;
(2)如果函數g(x)與f(x)的圖象關于直線y=x對稱,解關于x的不等式:g(x)+g(x-2)>2a(x-2)+4.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知二次函數的二次項系數為,且不等式的解集為(1,3).
⑴若方程有兩個相等實數根,求的解析式.
⑵若的最大值為正數,求實數的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知函數.
(1)求函數在區間上的最小值;
(2)設,其中,判斷方程在區間 上的解的個數(其中為無理數,約等于且有).

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知函數f(x)=在區間[-1,1]上是增函數.
(1)求實數a的值組成的集合A;
(2)設x1、x2是關于x的方程f(x)=的兩個相異實根,若對任意a∈A及t∈[-1,1],不等式m2+tm+1≥|x1-x2|恒成立,求實數m的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知函數y=2-x2+ax+1在區間(-∞,3)內遞增,求a的取值范圍.

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