Question

若對滿足的任意實(shí)數(shù)x，使得不等式2x³+3x²≥6（6x+a）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：由已知得1＜x＜3，
設(shè)f（x）=2x³+3x²-36x-6a，x∈（1，3）…（4分）
∴f’（x）=6x²+6x-36，
由f’（x）=0得x=2，x=-3舍．
當(dāng)1＜x＜2時，f′（x）＜0，
當(dāng)2＜x＜3時，f′（x）＞0…（8分）
∴f（x）在x=2處取得最小值 f（2）=-44-6a≥0，
∴．…（10分）
分析：由已知得1＜x＜3，設(shè)f（x）=2x³+3x²-36x-6a，x∈（1，3），故f‘（x）=6x²+6x-36，由f‘（x）=0得x=2，x=-3舍．由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．