Question

在（x+2y-z）⁸的展開式中，所有x的指數為2且y的指數不為1的項的系數之和為

364

．

Answer 1

分析：根據題意，將（x+2y-z）⁸轉化為[x+（2y-z）]⁸，由二項式定理可得x的指數為2的項為C₈²x²（2y-z）⁶，進而可得（2y-z）⁶展開式中各項系數之和，分析可得y的指數為1的項為C₆¹（2y）（-z）⁵=-12yz⁵，進而可得（2y-z）⁶展開式中y的指數不為1的各項系數之和為13，依據分步計數原理計算可得答案．

解答：解：在（x+2y-z）⁸的展開式中，所有x的指數為2的項為C₈²x²（2y-z）⁶，
（2y-z）⁶展開式中各項系數之和為（2×1-1）⁶=1，其中y的指數為1的項為C₆¹（2y）（-z）⁵=-12yz⁵，
故（2y-z）⁶展開式中y的指數不為1的各項系數之和為13．
所以在（x+2y-z）⁸的展開式中，所有x的指數為2且y的指數不為1的項的系數之和為C₈²×13=28×13=364；
故答案為364．

點評：本題考查二項式定理的應用，解本題的關鍵在于根據題意，將（x+2y-z）⁸轉化為[x+（2y-z）]⁸，進而運用二項式定理來求解．