Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-

1

3

x³+x²+（m²-1）x（x∈R）．
（1）當(dāng)方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，求過點(diǎn)（0，f（0））作曲線y=f（x）的切線的方程；
（3）若m＞0且當(dāng)x∈[1-m，3]時(shí)，恒有f（x）≤0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)解析式提出x進(jìn)行化簡(jiǎn)，再把“f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解”，轉(zhuǎn)化為“-

1

3

x2+x +(m2-1)=0沒有實(shí)數(shù)解”，再由判別式的符號(hào)與方程根的關(guān)系列出不等式，求出m的值；
（2）先把m=1代入解析式并求出導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)（x₀，y₀），代入解析式求出縱坐標(biāo)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義點(diǎn)斜式求出切線方程，將原點(diǎn)坐標(biāo)代入求出x₀的值，再代入切線方程化簡(jiǎn)即可；
（3）由題意求出導(dǎo)數(shù)并因式分解，求出函數(shù)的臨界點(diǎn)，判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再由區(qū)間端點(diǎn)進(jìn)行分類討論，分別判斷出函數(shù)的單調(diào)性，再求出函數(shù)的最大值，再列出不等式組，求出m的范圍．

解答：解：（1）由題意得，f（x）=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x
=x[-

1

3

x2+x +(m2-1)]，
∵方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
∴-

1

3

x2+x +(m2-1)=0沒有實(shí)數(shù)解，
∴△=1+

4

3

(m2-1)＜0，解得-

1

2

＜m＜

1

2

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-

1

2

，

1

2

)．
（2）當(dāng)m=1時(shí)，f(x)=-

1

3

x3+x2，則f′（x）=-x²+2x，
設(shè)切點(diǎn)為（x₀，y₀），y0=-

1

3

x03+x02，
∴切線方程設(shè)為y-y₀=f′（x₀）（x-x₀），
即y-(-

1

3

x03+x02)=(-x02+2x0)(x-x0)①，
將原點(diǎn)（0，0）代入得，0-(-

1

3

x03+x02)=(-x02+2x0)(0-x0)，
解得x₀=0或x0=

3

2

，代入①得，y=0或3x-4y=0，
則過（0，f（0））的切線的方程為：y=0或3x-4y=0，
（3）由題意得，f′（x）=-x²+2x+m²-1=-（x-m-1）（x+m-1），
由f′（x）=0得，x=m+1或x=1-m，
∵m＞0，∴m+1＞1-m，
∴f（x）在（-∞，1-m）和（1+m，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1-m，1+m）內(nèi)單調(diào)遞增．
①當(dāng)1+m≥3，即m≥2時(shí)，f（x）在區(qū)間[1-m，3]上是增函數(shù)，
∴f(x)max=f(3)=3m2-3．
∴

m≥2 3m2-3≤0

，解得m無解，
②當(dāng)1+m＜3時(shí)，即0＜m＜2時(shí)，
則f（x）在（1-m，1+m）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1+m，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴f(x)max=f(1+m)=

2

3

m3+m2-

1

3

，
∴

0＜m＜2 2 3 m3+m2- 1 3 ≤0

，即

0＜m＜2 (m+1)2(2m-1)≤0

，
解得0＜m≤

1

2

，
綜上得，m的取值范圍為（0，

1

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線的點(diǎn)斜式方程，以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、最值的關(guān)系，涉及了恒成立問題的處理，分類討論思想．