Question

設(shè)a，b，c是三角形ABC的邊長，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）=b²x²+（b²+c²-a²）x+c²有（　　）

• A、f（x）=0
• B、f（x）＞0
• C、f（x）≥0
• D、f（x）＜0

Answer 1

分析：根據(jù)余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，將函數(shù)化簡為f（x）=b²x²+（2bccosA）x+c²，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以計(jì)算，可得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的拋物線開口向上且與x軸沒有公共點(diǎn)，可得本題的答案．

解答：解：在△ABC中，根據(jù)余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
∴b²+c²-a²=2bccosA，
因此函數(shù)可化為：f（x）=b²x²+（2bccosA）x+c²，
∵

b2＞0 △=4b2c2cos2A-4b2c2=4b2c2(cos2A-1)＜0

，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象是開口向上的拋物線，且與x軸沒有公共點(diǎn)．
由此可得：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x）＞0恒成立．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出與△ABC的三邊a、b、c有關(guān)的二次函數(shù)，研究函數(shù)值的取值范圍．著重考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、余弦定理及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于中檔題．