Question

已知由實數組成的集合A滿足條件：若x∈A，則必有∈A.

    （1）設A中恰有三個元素，且2是其中的一個，求這時的集合A；

    （2）有人斷定集合A中的元素可以有且僅有一個，請你作出判斷，看他的斷言是否正確，為什么？

    （3）若集合A≠Ф，試證集合A中的元素個數必為3的整數倍，并給出除（1）中以外的一個集合A來．

   

Answer 1

（1）A={-1，2，}（2）不可能（3）、和

解析:

[解答]（1）依題意，2∈A，∴∈A，從而∈A，

    此時，∴A={-1，2，}；

    （2）A不可能是只有一個元素的集合，否則由x=，得x²-x+1=0，這不可能；

    （3）設不等于零的a∈A，則∈A，∴∈A，故而，

    由于A≠Ф，且A中元素不會為1個，∴再只需證得A中元素不會為2個即可；

    事實上，若a∈A，則∈A，∴必有a=，此時，a²-a+1=0，

    同樣不可能；這即證得集合A中的元素有、與這3個，

    若，且，同樣可得、和也都在A中，

    當時可知這時A中的元素有6個，…，

    故知A中的元素個數必為3的整數倍