Question

已知數列{a_n}、{b_n}的前n項和分別為S_n、T_n，且滿足2S_n=-2a_n+n²-n+2，2b_n=n-2-a_n．
（Ⅰ）求a₁、b₁的值，并證明數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）試確定實數λ的值，使數列{

Tn+λSn

n

}是等差數列．

Answer 1

分析：（Ⅰ）在2S_n=-2a_n+n²-n+2，2b_n=n-2-a_n令n=1代入求得a₁、b₁的值，根據an=

S1            (n=1) Sn-Sn-1  (n≥2)

，求得數列{a_n}通項公式，代入2b_n=n-2-a_n，根據等比數列的定義，證明數列{b_n}是等比數列；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）求得數列{a_n}、{b_n}的前n項和分別為S_n、T_n，利用等差數列的定義求得實數λ的值，使數列{

Tn+λSn

n

}是等差數列．

解答：解：
（Ⅰ）證明：由已知，得2a₁=-2a₁+1-1+2
∴a₁=

1

2

∴b₁=-

3

4

由2S_n=-2a_n+n²-n+2，得2S_n+1=-2a_n+1+（n+1）²-（n+1）+2
兩式作差得：2a_n+1=a_n+n．
∴

bn+1

bn

=

(n+1)-2-an+1

n-2-an

=

n-1- an+n 2

n-2-an

=

1

2

．
∴數列{b_n}是以-

3

4

為首項，

1

2

為公比的等比數列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b_n=-

3

4

（

1

2

）^n-1，
∴T_n=

- 3 4 (1- 1 2n )

1- 1 2

=-

3

2

+

3

2n+1

∵2b_n=n-2-a_n
∴a_n=n-2-2bn=

3

2n

+n-2
∴Sn=-an+

n2-n+2

2

-

3

2n

+

n2-3n

2

+3
∵數列{

Tn+λSn

n

}是等差數列的充要條件是

Tn+λSn

n

=An+B（A、B為常數）
即T_n+λS_n=An²+Bn
又Tn+λSn=-

3

2

+-

3

2n+1

+λ(-

3

2n

+

n2-3n

2

+3)=

λ(n2-3n)

2

-(λ-

1

2

)(

3

2n

-3)
∴當且僅當(λ-

1

2

)=0即λ=

1

2

時
數列{

Tn+λSn

n

}是等差數列．

點評：考查等比數列的定義和前n項和公式，及根據an=

S1            (n=1) Sn-Sn-1  (n≥2)

求得數列{a_n}通項公式，體現分類討論的思想方法，利用等差數列的定義探討參數λ的值，增加了試題的難度，屬中檔題．