Question

已知向量

m

=（acosx，cosx），

n

=（2cosx，bsinx），f（x）=

m

•

n

且f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

（1）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值與最小值；
（2）若f（

θ

2

）=

3

2

，且θ是三角形的一個內角，求tanθ

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積運算表示出f（x），由f（0）=2，f（

π

3

）=

1

2

+

3

2

可分別求得a，b，進而利用正弦函數的值域可求得x∈[0，

π

2

]時，求f（x）的最值；
（2）由f（

θ

2

）=

3

2

可求得sinθ+cosθ=

1

2

，進而可求得sinθ-cosθ=

7

2

，從而可得

sinθ-cosθ

sinθ+cosθ

=

7

，分子分母同除以cosθ可求得tanθ；

解答：解：（1）f（x）=

m

•

n

=2acos²x+bsinxcosx=a（1+cos2x）+

b

2

sin2x，
由f（0）=a（1+cos0）+

b

2

sin0=2，解得a=1，
由f（

π

3

）=（1+cos

2π

3

）+

b

2

sin

2π

3

=

1

2

+

3

4

b=

1

2

+

3

2

，解得b=2，
所以f（x）=sin2x+cos2x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+1，
x∈[0，

π

2

]時，2x+

π

4

∈[

π

4

，

5

4

π]，則sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
所以f（x）_min=0，f（x）_max=

2

+1，；
（2）f（

θ

2

）=

3

2

⇒sin（θ+

π

4

）=

2

4

⇒sinθ+cosθ=

1

2

⇒sinθ-cosθ=

7

2

，

sinθ-cosθ

sinθ+cosθ

=

7

⇒tanθ=-

7 +1

7 -1

=-

4+ 7

3

．

點評：本題考查平面向量數量積的運算、兩角和與差的正弦函數及其定義域、值域，知識覆蓋面較廣．