Question

某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產產品x（百臺），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為2萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元（總成本=固定成本+生產成本），銷售收入R（x）（萬元）滿足：R（x）=

-0.4x2+4.2x-0.8   (0≤x≤5) 10.2                         (x＞5).

假定該產品產銷平衡，那么根據上述統計規律．
（1）試寫出利潤函數p（x）的函數表達式．
（2）要使工廠有贏利，產量x應控制在什么范圍？
（3）工廠生產多少臺產品時，可使贏利最多？

Answer 1

分析：（1）依題意，G（x）=x+2．設利潤函數為p（x），由題設條件寫出利潤函數p（x）的函數表達式．
（2）要使工廠有贏利，即解不等式p（x）＞0，當0≤x≤5時，解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0，得1＜x≤5；當x＞5時，解不等式8.2-x＞0，得5＜x＜8.2．由此知要使工廠贏利，產品應控制在大于100臺且小于820臺的范圍．
（3）0≤x≤5時，f（x）=-0.4（x-4）²+3.6．故當x=4時，f（x）有最大值3.6．而當x＞5時，f（x）＜8.2-5=3.2．由此可知當工廠生產400臺產品時，贏利最多．

解答：解：（1）依題意，G（x）=x+2．
設利潤函數為p（x），
則p（x）=

-0.4x2+3.2x-2.8   (0≤x≤5) 8.2-x                    (x＞5).

（4分）
（2）要使工廠有贏利，
即解不等式p（x）＞0，（5分）
當0≤x≤5時，
解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0，
即x²-8x+7＜0，
∴1＜x＜7．
∴1＜x≤5；                            （7分）
當x＞5時，解不等式8.2-x＞0，
得x＜8.2，
∴5＜x＜8.2．（9分）
綜上，要使工廠贏利，x應滿足1＜x＜8.2，
即產品應控制在大于100臺且小于820臺的范圍            （11分）
（3）0≤x≤5時，
f（x）=-0.4（x-4）²+3.6．
故當x=4時，f（x）有最大值3.6． （14分）
而當x＞5時，
f（x）＜8.2-5=3.2．
所以，當工廠生產400臺產品時，贏利最多．（16分）

點評：本題考查函數在生產實際中的具體運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．