Question

某產品生產廠家根據以往的生產銷售經驗得到下面有關生產銷售的統計規律：每生產產品x（百臺），其總成本為G（x）（萬元），其中固定成本為2萬元，并且每生產1百臺的生產成本為1萬元（總成本=固定成本+生產成本）；銷售收入R（x）（萬元）滿足：R(x)=

-0.4x2+4.2x-0.8(0≤x≤5) 10.2(x＞5)

，假定該產品產銷平衡，那么根據上述統計規律：
（Ⅰ）要使工廠有贏利，產量x應控制在什么范圍？
（Ⅱ）工廠生產多少臺產品時，可使贏利最多？

Answer 1

分析：（1）根據題意，設利潤函數為f（x），成本函數為G（x）=x+2，則f（x）=G（x）-R（x），結合題中R（x）分段的表達式，即可得到f（x） 分段的表達式．再分0≤x≤5和x＞5時兩種情況解關于x的不等式f（x）＞0，得到的解集即為使工廠有贏利的產量x的取值范圍．
（2）分0≤x≤5和x＞5時兩種情況討論，分別求二次函數y=-0.4x²+3.2x-2.8與一次函數y=8.2-x的最大值，最后綜合可得使贏利最多時的產量x的值．

解答：解：根據題意，設成本函數G（x）=x+2，利潤函數為f（x），則f(x)=R(x)-G(x)=

-0.4x2+3.2x-2.8(0≤x≤5) 8.2-x(x＞5)

…（4分）
（Ⅰ） 要使工廠有贏利，即解不等式f（x）＞0，
①當0≤x≤5時，解不等式-0.4x²+3.2x-2.8＞0，化簡得x²-8x+7＜0．
解之得1＜x＜7，結合0≤x≤5得1＜x≤5；     …（7分）
②當x＞5時，解不等式8.2-x＞0，得x＜8.2．
∴結合x＞5，得5＜x＜8.2．
綜上所述，要使工廠贏利，x應滿足1＜x＜8.2，
即產品應控制在大于100臺，小于820臺的范圍內．…（9分）
（Ⅱ）①0≤x≤5時，f（x）=-0.4x²+3.2x-2.8=-0.4（x-4）²+3.6
可得當x=4時，f（x）有最大值3.6．…（10分）
②當x＞5時，f（x）＜8.2-5=3.2
綜上所述，f（x）的最大值為f（4）=3.6
∴當工廠生產400臺產品時，可使贏利最多．…13 分

點評：本題給出工廠生產的實際應用問題，求最大盈利時的產量x值，著重考查了基本初等函數的單調性、不等式的解法和用函數知識解決實際應用問題等知識，屬于基礎題．