Question

已知函數y=f（x）（x∈R），滿足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]時，f（x）=-|x|+1，則函數y=f（x）-log₅|x|的零點個數是（　　）

A．4

B．6

C．8

D．10

Answer 1

分析：先根據函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），得出f（x）是周期為2的周期函數，再把函數的零點轉化為兩函數圖象的交點，利用圖象直接得結論．

解答：解：∵函數y=f（x）（x∈R）滿足f（x+1）=f（x-1），
∴f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期為2的周期函數，
又x∈[-1，1]時，f（x）=-|x|+1，
根據函數的周期性畫出圖形，如圖，再在同一坐標系中畫出函數y=log₅|x|的簡圖，
將函數y=f（x）-log₅|x|的零點個數問題轉化為圖象的交點問題，
根據圖象，∵log₅|±5|=1
∴函數圖象僅在（0，5），（-5，0）上有8個交點
∴函數y=f（x）-log₅|x|的零點個數為8個
故選C．

點評：本題考查了函數與方程的綜合運用，考查函數的周期性，考查數形結合的數學思想，解題的關鍵是正確作出函數的圖象．